欢乐数学（数学版What if？400幅火柴人漫画笑爆课堂，耶鲁大学毕业天才教师10余年教学案例精华揭秘！教会数学思维提升理解力，让数学从可怕变可…

这就是三角形独一无二之处，其他多边形没有这样的定理。
比如说，和三角形最相似的四边形。我先把一条边平放在地上，用另外两条边的端点连着它的两端竖立起来，再把第四条边放在上面，最
后用胶带把每个连接点固定好，就成了一个矩形。这时，突然起风了，矩形开始摇晃，原本竖直的两条边顺着风的方向倾斜。整个装置都歪
了，看上去就像一把正在叠起来的折叠椅，随着风越来越大，四边形不断变换形状，从“方形”到“近似方形”，到“有点儿像菱形的形状”，再
到“超尖的瘦菱形”……

这四条边围起来的时候，并没有形成一个独特的形状，而是提供了无限多种四边形的可能性。只要施加一点儿压力，任何部件都可以重新
组合，成为另一个不同的形状。

现在你相信了吧？那是只属于三角形的特点，是它的隐藏技能：三角形的特点不只是它有三条边，还有这三条边所赋予整个结构的刚性。
古埃及的测量员早已洞悉这个技能，通过拉紧手中的12结绳，他们找到了毕达哥拉斯三角形：他们从绳中召唤出了一个直角。你也可以试
着用绳子去召唤有四个直角的正方形，但是要小心：四边形的庞大家族中，无数个你不需要的形状都会响应这个召唤。无论你怎么拉紧绳子，
它的四条边还是可以不断扭曲、变换形状，因为四边形是无法被固定的。五边形、六边形、七边形和其他所有的多边形都是如此。只有三角形
具有刚性。
坚固的金字塔并没有运用三角形这种特殊的力量。立方体、圆锥体、平截头体3——这些形状都能达到法老对金字塔的要求。金字塔是石块
堆起来的，笨拙的石块堆起来以后都是坚固的，形状不那么重要。
我没有看轻金字塔的意思。对90亿千克重的大石头堆建筑来说，“轻”当然不合适，而且我非常佩服它惊人的精度：金字塔底座每一边的误
差在20厘米之内，各个方向角度的误差低于0.1°，与直角的偏差角小于0.01°。这些古埃及人是懂数学的。
然而，我还是不得不说，这近乎完美的精度不是建筑师的功劳，而是测量员的。从根本上来说，大金字塔仍然是一堆石块。这种一堆石块
的设计如果仅是作为法老不朽的象征，那当然没问题，但对于一座对实用性有要求的建筑来说，就不是个好作品了。金字塔里，最狭窄的房间
和通道的大小还不到它内部体积的0.1%。想想看，如果帝国大厦内部只有一层60厘米高的空间，别的地方都填满了实心钢结构，你肯定也希望
能有一个更加高效实用的替代方案。4
在接下来的几个世纪里，建筑师们将寻求新的建筑结构。他们希望建成能跨过山河湖海的坚固桥梁，能高耸入云的摩天大楼。为达到这些
目的，他们需要一种非凡的坚韧形状：三角形，建筑设计中的英雄。

3. 弯曲的屋梁担起了世界的重量

在这里，我们的故事和另一个故事交织了起来——人类建筑的千年传奇。我们先简单回顾一下人类建筑故事的前情提要。
（1）“室外”是不适合人类居住的，没法遮风挡雨，没法储存食物，甚至可能会遇到狗熊。这就是为什么人类希望转移到“室内”。
（2）要创建“室内”，就需要建造一个巨大的空心形状，供人类居住其中。
（3）如果你的形状设计合理、用料无误，那么住在“室内”会非常安全，每部分都稳固牢靠，没有倒塌的风险。这就是所谓的“建筑”。
好了，现在我们可以进入正题了。我要郑重地介绍一下三角形故事中一个重要的配角：梁。如果你是一名建筑工程师，既不愿设计出金字
塔那种内部逼仄的巨石建筑，又希望自己的设计尽可能地牢固，那么梁在你的设计中肯定会发挥重要作用。

梁可以将竖直方向的力沿着水平方向转移。5例如，当你站在一块搭在沟渠两边的木板上时，你的重量会把木板往下压，但把你支撑起来的
力并不来自你的正下方，而是在木板两侧，也就是木板与土地接触的地方。梁也是这样，当在中间受到一个力时，会把这个作用力转移到两
侧。

但是梁也存在一个问题：不够高效。
从某种意义上来说，建筑和生活很像，都需要进行压力管理。不同的是，生活中有很多种压力（比如，任务截止日期快到了，要养育孩子
了，手机电量不足了，等等），而建筑结构面临的力常常只有两种：推力和拉力。两种力的性质不同，当受力对象被推挤时，推力会产生压
力；当受力对象被拉伸时，拉力会产生张力。此外，不同的材料对力的响应差异也很大。比如说，混凝土能承受高压，但在受拉力时非常易
碎。另一个极端是钢索，钢索可以承受令人难以置信的张力，但最轻微的压力也能让它们弯曲变形。
现在，想象一根梁在负重的情况下向下弯曲，露出微笑（露出鬼脸可能更贴切些）。猜猜看，它的应变性质是什么：是产生张力还是压
力？

这个问题的答案是“二者皆有”。横梁的上表面就像田径场赛道上的内侧弯道，转弯的地方更短，材料被推挤在一起，产生了压力。再看看
横梁底部，这里就像田径场的外侧弯道，距离更长，材料被拉伸，产生了张力。

到目前为止，似乎没有什么好让人操心的问题：许多材料在推力和拉力下都表现得还不错，例如木材。然而，现在的问题不在于梁承受了
这两种应力，而在于一根梁中的很大一部分并没有承受任何应力。

没错，我说的就是中间。梁的中间部分安然地处于被压缩的顶部和被拉伸的底部之间，没有任何应变，中间部分的曲线就像一个袖手旁观
的路人事不关己的微笑。中间的材料被浪费了，比起金字塔无用的体积，这并没有好到哪里去。通常在一根梁中，有一半的材料是被浪费的，
就像学生只用了50%的努力，在学习中浑水摸鱼。